Matura z matematyki

Kursywą zostały podane zagadnienia obowiązujące wyłącznie na maturze rozszerzonej. Pozostała część zagadnień jest wspólna dla obu poziomów.

1. Liczby rzeczywiste:

• działania w zbiorze liczb rzeczywistych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie pierwiastkowanie, logarytmowanie)
• dowodzenie podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia;
• pierwiastki dowolnego stopnia, w tym pierwiastki stopnia nieparzystego z liczb ujemnych
• związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach
• monotoniczność potęgowania
• przedziały liczbowe i oś liczbowa
• interpretacja geometryczna i algebraiczna wartości bezwzględnej, rozwiązywanie równań i nierówności
• potęgowanie i pierwiastkowanie w sytuacjach praktycznych, w tym obliczanie procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów
• logarytmowanie, związek logarytmowania z potęgowaniem, wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi
• zamiana podstawy logarytmu

2. Wyrażenia algebraiczne:

• wzory skróconego mnożenia
• dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów jednej i wielu zmiennych
• wyłączanie czynników poza nawias
• rozkładanie wielomianów na czynniki
• pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych
• dzielenie wielomianów przez dwumian
• mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych
• dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych
• pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych
• dzielenie wielomianów przez jednomian
• wzory skróconego mnożenia 3 potęgi

3. Równania i nierówności:

• przekształcanie równań i nierówności
• równanie i nierówności sprzeczne i tożsamościowe
• rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą
• rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych
• rozwiązywanie równań wielomianowych
• rozwiązywanie równań wymiernych
• rozwiązywanie nierówności wielomianowych
• rozwiązywanie równań i nierówności wymiernych
• wzory Viète’a
• równania i nierówności z wartością bezwzględną
• analiza równań i nierówności z parametrami

4. Układy równań:

• układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, interpretacja geometryczna układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych
• wykorzystywanie układów równań do rozwiązywania zadań tekstowych
• układy równań liniowych i kwadratowych

5. Funkcje:

• definicja funkcji i sposób jej opisywania
• odczytywanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym
• odczytywanie i interpretacja wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp.
• korzystanie z wykresów funkcji – dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane
• współczynniki występujące w funkcji liniowej
• wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach
• szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej zadanej wzorem
• współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej
• wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
• największa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
• własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp.
• szkicowanie wykresów funkcji
• funkcja wymierna, wykładnicza i logarytmiczną
• rysowanie wykresu funkcji z wartością bezwzględną
• złożenia funkcji
• dowodzenie monotoniczności funkcji zadanej wzorem

6. Ciągi:

• wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym
• początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie
• monotoniczność ciągu
• ciągi arytmetyczne
• wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
• ciągi geometryczne
• wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
• własności ciągów
• granice ciągów – granice sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu, twierdzenie o trzech ciągach
• szereg geometryczny i jego suma

7. Trygonometria:

• sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°
• korzystanie z tablic trygonometrycznych
• wzory trygonometryczne
• twierdzenie sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta
• rozwiązywanie trójkątów
• miara łukowa kąta
• wykresy funkcji trygonometrycznych
• okresowość funkcji trygonometrycznych
• wzory redukcyjne
• wzory na sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych
• twierdzenie sinusów
• równania i nierówności trygonometryczne

8. Planimetria:

• okręgi – promień, średnica, cięciwa, odcinki styczne
• trójkąty (ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne) i twierdzenia o trójkątach
• wielokąty foremne i ich własności
• własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach
• własności kątów wpisanych i środkowych
• wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu
• twierdzenie Talesa, twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa, twierdzenie o dwusiecznej kąta oraz twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą
• podobieństwo trójkątów
• figury podobne
• punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie ortocentrum, środek ciężkości
• funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur
• czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu
• twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Talesa
• dowody geometryczne

9. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej:

• wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań
• równania proste na płaszczyźnie (postać kierunkowa i postać ogólna)
• odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych
• równanie okręgu
• odległość punktu od prostej
• punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej
• obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych)
• punkty wspólne dwóch okręgów
• wektory – współrzędne oraz długość, dodawanie wektorów i mnożenie przez liczbę
• punkty wspólne okręgów, prostych i paraboli

10. Stereometria:

• Proste, odcinki, płaszczyzny w przestrzeni oraz kąty między nimi
• Bryły: sześcian, prostopadłościan, ostrosłup, graniastosłup, walec, stożek, kula – objętość, pole, kąty, przekroje
• Bryły podobne – skala podobieństwa objętości i pola
• Prosta prostopadła do płaszczyzny
• Kąt dwuścienny
• Przekroje brył

11. Kombinatoryka:

• Proste sytuacje kombinatoryjne 
• Reguła mnożenia
• permutacja, kombinacja i wariacja
• symbol Newtona

12. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka:

• prawdopodobieństwo w modelu klasycznym
• średnia arytmetyczna, średnia ważona, odchylenie standardowe mediana i dominanta
• prawdopodobieństwo warunkowe, wzór Bayesa, twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
• schemat Bernoulliego

13. Optymalizacja i rachunek różniczkowy (tylko na rozszerzeniu):

• granice funkcji (w tym jednostronne)
• własność Darboux
• definicja pochodnej funkcji, interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej
• pochodna funkcji potęgowej oraz pochodna sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej
• zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności funkcji
• zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej

Matura z matematyki na poziomie podstawowym trwa 170 minut. Poziom rozszerzony, o charakterze dodatkowym to już pełne trzy godziny zegarowe, czyli 180 minut.

Na arkuszu maturalnym z matematyki znajdziemy trzy grupy zadań:

• Zamknięte, z których uczestnicy zdobywają 1 lub 0 punktów w przypadku braku bądź udzielenia niepoprawnej odpowiedzi,
• Zadania otwarte z krótkim uzasadnieniem, z których można otrzymać do 2 (na maturze podstawowej) lub do 4 punktów (na maturze rozszerzonej),
• Zadania otwarte wymagające udzielenia pogłębionej odpowiedzi, punktowane do 6 (arkusz podstawowy) lub 7 punktów (arkusz rozszerzony).

Każdy z uczestników może mieć ze sobą przygotowaną przez Centralną Komisję Egzaminacyjną kartę tablic i wzorów oraz niezbędne przybory piśmiennicze oraz przyrządy trygonometryczne: długopis lub pióro z czarnym wkładem, linijka, cyrkiel, wraz z dowodem osobistym i kalkulatorem prostym.

Średni wynik na maturze z matematyki poziomu podstawowego, w ostatnich latach waha się w przedziale od 43 do 58%, z kolei poziom rozszerzony od 24 do 42%. Zdawalność matury natomiast od 70 do 86%. Poziom matury z matematyki jest wobec tego wysoki, niemniej z pomocą Prowadzących Indeksu w Kieszeni bez problemu znajdziesz się w górnym zestawieniu wyników!

Zadania maturalne układają eksperci z OKE (Okręgowych Komisji Egzaminacyjnych), gotowy arkusz zatwierdzany jest przez Centralną Komisję Egzaminacyjną.

Próbne matury organizowane przez wydawnictwa podręczników i repetytoriów przeprowadzane są w różnych miesiącach w ciągu roku szkolnego. Próbna matura autorstwa CKE (tzw. test diagnostyczny) w minionych latach odbywała się w okolicach marca.

Zwyczajowo matura z matematyki na poziomie podstawowym przeprowadzana jest w drugim dniu matur (czyli dzień po egzaminie z języka polskiego), a zatem w pierwszych dniach maja. Poziom rozszerzony rozwiązywany jest z reguły przed upływem tygodnia od egzaminu na poziomie podstawowym.

Egzaminy poprawkowe przeprowadzane są w drugiej połowie sierpnia, jednak bez obaw, dzięki pomocy Indeksu w Kieszeni nie musisz znać dokładnej daty.

Kluczowe jest opanowanie wymaganych na egzaminie twierdzeń oraz zależności, jak również rozwiązanie możliwie dużej ilości zadań. Właśnie dlatego to na te dwa elementy dobrego przygotowania do matury – teorię i praktykę, stawiamy szczególny nacisk podczas kursu!