O optymalizacji na matematyce w paru słowach

Optymalizacja na matematyce na przykładzie wzorów matematycznych wypisanych na tablicy

Źródło: www.freepik.com

Od 2015 roku na maturze rozszerzonej z matematyki pojawiły się zadania z wykorzystaniem pochodnej. Najważniejszym z nich jest zadanie optymalizacyjne, za które można zdobyć od 5 do 7 punktów, co daje między 10% a 14% możliwych do zdobycia punktów.

Zadania optymalizacyjne dotyczą najczęściej zagadnień związanych z działami takimi jak: planimetria, trygonometria, stereometria, geometria analityczna. Jak je rozwiązać?

      

Zapamiętaj kilka prostych kroków:

     

 1. Rysunek! Pamiętaj – aby o nim, aby lepiej zobrazować sobie zagadnienie opisane w zadaniu. Oczywiście na rysunku będzie niewiele danych i wiele niewiadomych, jednak dysponując poprawnym schematem łatwiej znaleźć zależności pomiędzy jego elementami.

 2. Skup się na funkcji, którą optymalizujesz! Przykład: jeżeli w zadaniu masz znaleźć wymiary ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, dla którego objętość jest największa (przy pewnych warunkach), twoje skupienie powinno paść na OBJĘTOŚĆ. Do wymiarów dojdziesz, gdy będziesz znał tę największą objętość. Zapisz wzór na objętość, która w przypadku takiego ostrosłupa będzie zależeć od 2 zmiennych: długości podstawy oraz wysokości.

 3. Przekształć wzór na optymalizowaną wielość tak, aby był zależny tylko od jednej niewiadomej! Wracając do przykładu, tak jak napisaliśmy, objętość zależy od długości podstawy i wysokości. Twoim zadaniem jest wyeliminowanie z tego równania jednej ze zmiennych! Jak?! Korzystaj z rysunku i treści zadania – na ich podstawie znajdziesz równanie łączące Twoje niewiadome. Wyznacz jedną z nich i wstaw do wzoru funkcji, którą optymalizujesz. W podanym przykładzie takim równaniem może być twierdzenie Pitagorasa wynikające z przekroju ostrosłupa. Na koniec tego kroku powinieneś mieć funkcję zależną od jednej niewiadomej!

 4. Pamiętaj o dziedzinie! Na tym etapie zastanów się, jaką dziedzinę ma Twoja funkcja
z podpunktu 3! Nie zapominaj, że dziedzina ograniczona jest również przez rysunek. Przykład: długości nie mogą być ujemne, przeciwprostokątna musi być najdłuższym bokiem w trójkącie.

 5. Wyznacz pochodną funkcji z podpunktu 3. oraz znajdź jej ekstrema! Na tym etapie może okazać się (i tak się często dzieje), że Twoja funkcja będzie miała postać iloczynu lub ilorazu, więc pamiętaj o tych wzorach:

Zadanie optymalizacja na przykładzie wzoru na pochodną funkcji

Pamiętaj również, że wyliczone EKSTREMA muszą znajdować się w dziedzinie.

 6. Mając już zoptymalizowaną wielkość (wyznaczone ekstrema) wylicz dla niego pozostałe wartości. Przykład: gdy znajdziesz największa objętość, wylicz wymiary ostrosłupa.

      

To wszystko. Teraz powinno być łatwiej!

      

UWAGA! W przypadku matury podstawowej również czasem zdarzają się zadania optymalizujące! Jak to?! W zadaniach optymalizacyjnych dla zakresu podstawowego optymalizowana funkcja ma postać FUNKCJI KWADRATOWEJ! Oznacza to, że wartość największą/najmniejszą przyjmuje dla wierzchołka i nie jest wtedy wymagana znajomość pochodnych w celu znalezienia optymalnej wielkości.

 

Autor tekstu: Adam Staniucha

Indeks w Kieszeni
kontakt@indekswkieszeni.pl