Matura z matematyki

Kursywą zostały podane zagadnienia obowiązujące wyłącznie na maturze rozszerzonej. Pozostała część zagadnień jest wspólna dla obu poziomów.

1. Liczby rzeczywiste:

• działania w zbiorze liczb rzeczywistych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie);
• dowodzenie podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia; 
• pierwiastki dowolnego stopnia, w tym pierwiastki stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;
• związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;
• monotoniczność potęgowania;
• przedziały liczbowe i oś liczbowa;
• interpretacja geometryczna i algebraiczna wartości bezwzględnej, rozwiązywanie równań i nierówności;
• potęgowanie i pierwiastkowanie w sytuacjach praktycznych, w tym obliczanie procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów;
• logarytmowanie, związek logarytmowania z potęgowaniem, wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi;
• zamiana podstawy logarytmu.

2. Wyrażenia algebraiczne:

• wzory skróconego mnożenia;
• dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów jednej i wielu zmiennych;
• wyłączanie czynników poza nawias;
• rozkładanie wielomianów na czynniki;
• pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;
• dzielenie wielomianów przez dwumian; 
• mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych;
• dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych;
• pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych;
• dzielenie wielomianów przez jednomian;
• wzory skróconego mnożenia 3 potęgi.

3. Równania i nierówności:

• przekształcanie równań i nierówności;
• równanie i nierówności sprzeczne i tożsamościowe;
• rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą;
• rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych;
• rozwiązywanie równań wielomianowych;
• rozwiązywanie równań wymiernych;
• rozwiązywanie nierówności wielomianowych;
• rozwiązywanie równań i nierówności wymiernych;
• wzory Viète’a;
• równania i nierówności z wartością bezwzględną;
• analiza równań i nierówności z parametrami.

4. Układy równań:

• układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, interpretacja geometryczna układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
• wykorzystywanie układów równań do rozwiązywania zadań tekstowych;
• układy równań liniowych i kwadratowych.

5. Funkcje:

• definicja funkcji i sposób jej opisywania;
• odczytywanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
• odczytywanie i interpretacja wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp.;
• korzystanie z wykresów funkcji – dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
• współczynniki występujące w funkcji liniowej;
• wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;
• szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
• współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej;
• wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
• największa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
• własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp.;
• szkicowanie wykresów funkcji;
• funkcja wymierna, wykładnicza i logarytmiczną;
• rysowanie wykresu funkcji z wartością bezwzględną; 
• złożenia funkcji;
• dowodzenie monotoniczności funkcji zadanej wzorem.

6. Ciągi:

• wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
• początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie;
• monotoniczność ciągu;
• ciągi arytmetyczne
• wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
• ciągi geometryczne;
• wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
• własności ciągów;
• granice ciągów – granice sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu, twierdzenie o trzech ciągach;
• szereg geometryczny i jego suma.

7. Trygonometria:

• sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°;
• korzystanie z tablic trygonometrycznych;
• wzory trygonometryczne;
• twierdzenie sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta;
• rozwiązywanie trójkątów;
• miara łukowa kąta;
• wykresy funkcji trygonometrycznych;
• okresowość funkcji trygonometrycznych; 
• wzory redukcyjne;
• wzory na sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;
• twierdzenie sinusów;
• równania i nierówności trygonometryczne.

8. Planimetria:

• okręgi – promień, średnica, cięciwa, odcinki styczne;
• trójkąty (ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne) i twierdzenia o trójkątach; 
• wielokąty foremne i ich własności;
• własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
• własności kątów wpisanych i środkowych;
• wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
• twierdzenie Talesa, twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa, twierdzenie o dwusiecznej kąta oraz twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą;
• podobieństwo trójkątów;
• figury podobne;
• punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości;
• funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;
• czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu;
• twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Talesa;
• dowody geometryczne.

9. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej:

• wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań;
• równania proste na płaszczyźnie (postać kierunkowa i postać ogólna);
• odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych; 
• równanie okręgu;
• odległość punktu od prostej;
• punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej;
• obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).
• punkty wspólne dwóch okręgów;
• wektory – współrzędne oraz długość, dodawanie wektorów i mnożenie przez liczbę;
• punkty wspólne okręgów, prostych i paraboli.

10. Stereometria:

• Proste, odcinki, płaszczyzny w przestrzeni oraz kąty między nimi;
• Bryły: sześcian, prostopadłościan, ostrosłup, graniastosłup, walec, stożek, kula – objętość, pole, kąty, przekroje;
• Bryły podobne – skala podobieństwa objętości i pola;
• Prosta prostopadła do płaszczyzny;
• Kąt dwuścienny;
• Przekroje brył.

11. Kombinatoryka:

• Proste sytuacje kombinatoryjne 
• Reguła mnożenia
• permutacja, kombinacja i wariacja,
• symbol Newtona

12. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka:

• prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
• średnia arytmetyczna, średnia ważona, odchylenie standardowe mediana i dominanta
• prawdopodobieństwo warunkowe, wzór Bayesa, twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym;
• schemat Bernoulliego.

13. Optymalizacja i rachunek różniczkowy (tylko na rozszerzeniu):

• granice funkcji (w tym jednostronne);
• własność Darboux,
• definicja pochodnej funkcji, interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej;
• pochodna funkcji potęgowej oraz pochodna sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;
• zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności funkcji;
• zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Matura z matematyki na poziomie podstawowym trwa 170 minut. Poziom rozszerzony, o charakterze dodatkowym to już pełne trzy godziny zegarowe, czyli 180 minut.

Na arkuszu maturalnym z matematyki znajdziemy trzy grupy zadań:

• Zamknięte, z których uczestnicy zdobywają 1 lub 0 punktów w przypadku braku bądź udzielenia niepoprawnej odpowiedzi,
• Zadania otwarte z krótkim uzasadnieniem, z których można otrzymać do 2 (na maturze podstawowej) lub do 4 punktów (na maturze rozszerzonej),
• Zadania otwarte wymagające udzielenia pogłębionej odpowiedzi, punktowane do 6 (arkusz podstawowy) lub 7 punktów (arkusz rozszerzony).

Każdy z uczestników może mieć ze sobą przygotowaną przez Centralną Komisję Egzaminacyjną kartę tablic i wzorów oraz niezbędne przybory piśmiennicze oraz przyrządy trygonometryczne: długopis lub pióro z czarnym wkładem, linijka, cyrkiel, wraz z dowodem osobistym i kalkulatorem prostym.

Średni wynik na maturze z matematyki poziomu podstawowego, w ostatnich latach waha się w przedziale od 43 do 58%, z kolei poziom rozszerzony od 24 do 42%. Zdawalność matury natomiast od 70 do 86%. Poziom matury z matematyki jest wobec tego wysoki, niemniej z pomocą Prowadzących Indeksu w Kieszeni bez problemu znajdziesz się w górnym zestawieniu wyników!

Zadania maturalne układają eksperci z OKE (Okręgowych Komisji Egzaminacyjnych), gotowy arkusz zatwierdzany jest przez Centralną Komisję Egzaminacyjną.

Próbne matury organizowane przez wydawnictwa podręczników i repetytoriów przeprowadzane są w różnych miesiącach w ciągu roku szkolnego. Próbna matura autorstwa CKE (tzw. test diagnostyczny) w minionych latach odbywała się w okolicach marca.

Zwyczajowo matura z matematyki na poziomie podstawowym przeprowadzana jest w drugim dniu matur (czyli dzień po egzaminie z języka polskiego), a zatem w pierwszych dniach maja. Poziom rozszerzony rozwiązywany jest z reguły przed upływem tygodnia od egzaminu na poziomie podstawowym.

Egzaminy poprawkowe przeprowadzane są w drugiej połowie sierpnia, jednak bez obaw, dzięki pomocy Indeksu w Kieszeni nie musisz znać dokładnej daty 😊

Kluczowe jest opanowanie wymaganych na egzaminie twierdzeń oraz zależności, jak również rozwiązanie możliwie dużej ilości zadań. Właśnie dlatego to na te dwa elementy dobrego przygotowania do matury – teorię i praktykę, stawiamy szczególny nacisk podczas kursu!