Źródło: www.freepik.com

Grawitacyjna dylatacja czasu, a Olimpiada Fizyczna. Co musisz wiedzieć?

Grawitacyjna dylatacja czasu to bardzo ważne zagadnienie, które powinien zgłębić każdy uczestnik Olimpiady Fizycznej! Najpierw jednak drobny przykład: wyobraźmy sobie, że mamy dwa zegary, które potrafią tykać albo mrugać lampką co wprowadzoną przez użytkownika liczbę sekund. Ponadto pierwsze tyknięcie może być wyzwolone przez naciśnięcie guzika, a dalej jest powtarzane okresowo, w wyznaczonych odstępach czasu.

Umieśćmy te zegary w dwóch różnych miejscach w spoczynku względem siebie oraz ewentualnego masywnego ciała w pobliżu. Na każde tyknięcie pierwszego zegara wysyłamy pocisk drugiego. Ponadto tak ustawiamy tyknięcia na zegarze drugim, aby panowała pełna synchronizacja jego tyknięć z docierającymi doń pociskami. Co się stanie, jeśli teraz, nie zmieniając ustawień tyknięć zegarów, postawimy je jeden obok drugiego? Czy oba będą tykać w takich samych odstępach czasu?

Okazuje się, że w ogólności odpowiedz na to pytanie brzmi nie. Postaram się tutaj pokazać, z już szkolne twierdzenia w połączeniu z założeniem, że w takim eksperymencie zegary po zbliżeniu będą zawsze tykać co taki sam odstęp czasu, prowadzą do sprzeczności. Dalej oszacuję stosunek czasów tyknięć zegarów z tego eksperymentu. Artykuł ten jest jednym z wielu opracowań, które znaleźć możesz w olimpijskim kursie Indeksu w Kieszeni. Z nami Olimpiada Fizyczna będzie w zasięgu ręki!

Perpetuum mobile nie istnieje

W tym miejscu chciałbym przytoczyć twierdzenia, z których będę korzystał. Centralna zasada, do której będę się odwoływał, to niemożność skonstruowania perpetuum mobile. Konieczny w rozważaniach będzie też wzór na energię potencjalną w polu grawitacyjnym E = – GMm/r lub, jeśli ktoś zadowala się przybliżeniem, w którym pole grawitacyjne np. Ziemi jest jednorodne, to E = mgh. Przyda się tez wzór na energię kinetyczną Ek = (mv^2)/2. Ponadto potrzebował będę wzoru na energię fotonu E = fh, gdzie f to częstotliwość fotonu, a h to stała Plancka.

Grawitacyjna dylatacja czasu: tutaj już konieczne jest słowo wyjaśnienia

Foton to pojedyncza cząstka światła. Jeśli będziemy dysponowali światłem monochromatycznym i przepuścimy je przez odpowiednio dużo przyciemnionych szkiełek, to może się okazać, że przez układ przelatuje tylko jeden foton o częstotliwości takiej jak wyjściowa fala miała przykładowo na godzinę. Jego energia będzie się wyrażać właśnie tym wzorem. Konieczna będzie też znajomość wzoru E = (mc)^2. W tym miejscu potrzebne jest jeszcze więcej wyjaśnień. Ten wzór mówi nam, że z każdą masą stowarzyszona jest dana energia i odwrotnie. Weźmy na przykład ziemniaka. Możemy włożyć go na wagę i otrzymać jakiś wynik. Możemy następnie go podgrzać, dostarczając mu oczywiście energii E. Jeśli włożymy go z powrotem na odpowiednio dokładną wagę, okaże się, ze jest on cięższy o E/c^2 .

Podobnie możemy przekształcić masę w energię biorąc np. elektron i pozyton (antyelektron), każdy o masie me. Anihilując je możemy otrzymać dwa fotony (to, że muszą być to dwa fotony, a nie jeden, wynika z zachowania pędu) o energii 2me c^2. Słowem, gdziekolwiek mamy jakąś energię, związana jest z nią masa i odwrotnie.

Wyobraźmy sobie zatem, że na pewnej wysokości nad ziemią znajduje się pewna masa m. Upuszczamy ją. Zyskuje ona energię kinetyczną kosztem potencjalnej. W miejscu, w którym owa masa miałaby uderzyć w ziemię, stawiamy magiczną maszynkę, która całą energię ciała (zarówno tę związaną z masą, jak i z kinetyczną) przetwarza na foton o energii E = (mc)^2+Epot (h) i wysyła go z powrotem w górę. Jeśli energia fotonu nie zmieniałaby się wraz z wysokością, przygotowawszy analogiczną magiczną maszynę przetwarzającą foton w masę moglibyśmy na wysokości h otrzymać masę m1 = m+ (Epot {h))/c^2 zyskując na całym procesie energię i tworząc perpetuum mobile!

Wynika stąd prosty wniosek

Energia fotonu musi zależeć od wysokości nad ziemią. Mamy jednak wzór na energię fotonu, który mówi, że zależy ona tylko od częstotliwości. Jak wybrnąć z tego impasu? Znów potrzeba nieortodoksyjnych metod myślenia – częstotliwość fotonu musi zależeć od wysokości! Teraz pozostaje nam jedynie powiązać ten wniosek z eksperymentem myślowym z początku artykułu. Taki foton może być oczywiście rozumiany jako fala. Zastąpmy w początkowym eksperymencie kolejne wysyłane pociski następującymi po sobie grzbietami fali, a otrzymamy szukane powiązanie. Odstęp czasu, co jaki tykał dany zegar, będzie w tym przypadku odwrotnością częstotliwości fotonu na danej wysokości! Aby zatem uniknąć sprzeczności z przyjętym założeniem, że nie da się skonstruować perpetuum mobile, musimy zaakceptować to, że czas płynie inaczej na różnych wysokościach nad ziemią.

Grawitacyjna dylatacja czasu: czas zatem policzyć, jak duży jest to efekt

Jako miarę przyjmę:

Gdzie T’ to czas, co jaki musiał tykać zegar na górze, aby pociski wysyłane z dołu w odstępach T docierały zsynchronizowane z tyknięciami. Na mocy wcześniejszych rozważań od razu mogę napisać

gdzie f i f’ to częstotliwość pewnego fotonu na dole i na górze, gdy przemieszcza się on w górę. Żądam dodatkowo, aby energia całkowita była taka sama, gdy foton jest na górze, jak na dole. Zatem zakładając, że „dół” jest w odległości r od środka Ziemi, a „góra” w odległości R, mogę napisać równanie:

Wyliczając z niego:

Otrzymuję ostatecznie, że:

Dla r równego promieniowi Ziemi, M odpowiadającego masie Ziemi i R reprezentującemu promień Ziemi powiększonemu o kilometr z = 1,09 ∙ 10^(-13). Czyli nie bardzo dużo… ale jednak nie 0. Ten efekt może mieć już znaczenie dla funkcjonowania systemu GPS.

W tym momencie warto też porównać otrzymane wyrażenie ze wzorem pochodzącym z ogólnej teorii względności. Dla niej z byłoby równe:

Czyli, stosując klasyczną teorię, zgubiliśmy po drodze czynnik 2 i pierwiastek. Niemniej dla Ziemi to ścisłe wyrażenie daje z rozsądną dokładnością takie same wyniki, tzn. dla poprzednio podanych danych też otrzymalibyśmy z niego z = 1,09 ∙ 10^(-13). Nasze wyrażenie zacznie działać źle dopiero, gdy czynnik GM/(c^2 r) zacznie być porównywalny do 0,5. Czyli w praktyce musielibyśmy umieścić nasz zegar przy horyzoncie zdarzeń czarnej dziury, żeby otrzymać złe wyniki. Ziemia przy zachowaniu swojej objętości mogłaby być milion razy cięższa, a mimo to nasz „błędny” wzór nadal dawałby w miarę poprawne wyniki.

Grawitacyjna dylatacja czasu: czas na spowiedź

Pozostaje wyspowiadać się z grzechów, które zostały popełnione przy wyprowadzaniu naszego z. Przede wszystkim nie stworzyliśmy nowej teorii grawitacji – posłużyliśmy się jedynie starą dobrą teorią klasyczną, żeby opisać pewien bardzo nieklasyczny efekt. Ponadto użyliśmy klasycznych wyrażeń na klasyczną energię, które oczywiście są poprawne, ale jedynie w granicy niezbyt silnej grawitacji i niezbyt dużych prędkości oraz mas. Dodatkowo zapomnieliśmy o zasadzie zachowania pędu rozważając naszą maszynkę przerabiającą fotony na masywne obiekty (to akurat można jeszcze próbować ratować).

To wszystko razem musiało spowodować, że nie dostaliśmy takiego wzoru, jaki dałaby nam ogólna teoria względności. Nasze wyrażenie jednak poprawnie opisuje dylatację czasu w okolicach nie bardzo masywnych gwiazd oraz planet. Dodatkowo nie sposób nie wspomnieć, że wyprowadzenie w pełni poprawnego wzoru na z z ogólnej teorii względności zajęłoby (wliczając budowę aparatu pojęciowego otw) pewnie więcej czasu niż cały program fizyki szkolnej. Na razie więc przyjdzie zadowolić się tym wynikiem.

To już koniec naszego wpisu, którego tematem była grawitacyjna dylatacja czasu. Jeśli podobał Wam się ten artykuł to gorąco zachęcamy do zajrzenia również do zakładki dedykowanej przygotowaniom do Olimpiady Fizycznej! Podczas kursu kompleksowo przerobisz cały materiał niezbędny do osiągnięcia sukcesu w Olimpiadzie!

Autor tekstu: Filip Bojdecki

Literatura:
A. Dragan: Niezwykle szczególna teoria względności
Bernard F. Schutz: Wstęp do ogólnej teorii względności

Grupa odnośnie Przygotowań do Olimpiady Fizycznej

Chcesz być ze wszystkim na bieżąco? Dołącz do grupy na Facebooku!