Omówimy w tym artykule zagadnienie jednokładności, która w wielu sytuacjach znacznie ułatwia posługiwanie się podobieństwem figur. Ogranicza ona potrzebę mozolnego wyliczania stosunków długości odcinków, ubierając kilka zależności w abstrakcyjne reguły, których zrozumienie i umiejętność stosowania zmniejsza liczbę kroków we wnioskowaniach.
Intuicyjnie mówiąc, jednokładność jest przeskalowaniem płaszczyzny względem zadanego środka przy zadanej skali.
W obu przypadkach oczywiście możliwe jest dokładne wyznaczenie środka jednokładności będącej złożeniem oraz wektora translacji, jednak przydatne jest to tylko w rozwiązaniach obliczeniowych, na Olimpiadzie zazwyczaj wystarczające są obserwacje wymienione powyżej.
Źródło: pl.freepik.com
Zobaczmy zastosowanie jednokładności w kliku przykładowych zadaniach.
Podzielmy banknot na cztery ćwiartki. Jednokładność o środku w każdym narożniku oraz skali 1 2 przekształca monety o promieniu 2 na monety o promieniu 1 tak, że pokrywają odpowiednią ćwiartkę. Zatem można przykryć cały banknot 100 monetami o promieniu 1.
Niech S będzie punktem przecięcia przekątnych AD, BE sześciokąta ABCDEF spełniającego za łożenie. Wtedy z równości [ABCD] + [FABE] = [DEFA] +[CDEB] wnioskujemy, że 2[ABS] + [BCDS] + [EFAS] = 2[DES] + [BCDS] + [EFAS], czyli [ABS] = [DES]. Zatem AE ∥ BD. Analogicznie wykazujemy AC ∥ DF oraz CE ∥ FB. Wobec tego trójkąty ACE i DFB są podobne przy właśnie takiej orientacji punktów.
Rozpatrzmy teraz jednokładność o środku w S przekształcającą A na D oraz E na B. Przekształca ona prostą AE na prostą BD oraz prostą AC na prostą równoległą do AC i przechodzącą przez D, czyli na DF. Analogicznie przekształca prostą EC na prostą BF. Zatem obraz punktu C w tej jednokładności jest przecięciem obrazów prostych CE i AC, czyli przecięciem prostych BF i DF, więc jest to punkt F. Wobec tego punkty F, S, C leżą na jednej prostej, co kończy dowód.
To już koniec tego wpisu. Mam nadzieję, że temat jednokładności nie kryje już przed Wami tajemnic! Zachęcam Cię do zapisu na pełną wersję kursu Indeksu w Kieszeni, dzięki któremu poznasz więcej ciekawych zagadnień matematycznych!
Strona przygotowana przez Zyskowni.pl