PROMOCJA na kursy trwa do 17/02! Do końca: --:--:--!

Kategorie

Kategorie

Jednokładność na Olimpiadzie Matematycznej

Jednokładność na Olimpiadzie Matematycznej


Omówimy w tym artykule zagadnienie jednokładności, która w wielu sytuacjach znacznie ułatwia posługiwanie się podobieństwem figur. Ogranicza ona potrzebę mozolnego wyliczania stosunków długości odcinków, ubierając kilka zależności w abstrakcyjne reguły, których zrozumienie i umiejętność stosowania zmniejsza liczbę kroków we wnioskowaniach.


Jednokładność: definicja 


jednokładność podstawowe informacje

Intuicyjnie mówiąc, jednokładność jest przeskalowaniem płaszczyzny względem zadanego środka przy zadanej skali.

Własności


Jakie właściwości ma jednokładność?

Składanie jednokładności 


jednokładność na OM

W obu przypadkach oczywiście możliwe jest dokładne wyznaczenie środka jednokładności będącej złożeniem oraz wektora translacji, jednak przydatne jest to tylko w rozwiązaniach obliczeniowych, na Olimpiadzie zazwyczaj wystarczające są obserwacje wymienione powyżej.


Czym jest jednokładność?

Źródło: pl.freepik.com


Zadania 


Zobaczmy zastosowanie jednokładności w kliku przykładowych zadaniach.

  1. Banknot przykryto 25 monetami o promieniu 2 tak, że żadne dwie monety się nie dotykają oraz nie wystają poza powierzchnię banknotu. Czy da się go przykryć w ten sam sposób 100 monetami o promieniu 1? 
  2. Dany jest trójkąt ABC. Wpisz w niego taki kwadrat, aby jeden jego bok zawierał się w boku AB, a pozostałe 2 wierzchołki kwadratu zawierały się odpowiednio w boku BC i CA
  3. Udowodnij, że w dowolnym trójkącie środek okręgu opisanego O, środek ciężkości S i ortocentrum H leżą na jednej prostej (zwanej prostą Eulera) w tej kolejności, przy czym SH = 2SO
  4. Przekątne trapezu przecinają się w punkcie P, a proste zawierające jego ramiona przecinają się w punkcie Q. Wykaż, że prosta PQ przechodzi przez środki podstaw tego trapezu. 
  5. W sześciokącie wypukłym każda z przekątnych łączących przeciwległe wierzchołki dzieli go na dwa czworokąty o równych polach. Wykaż, że te przekątne przecinają się w jednym punkcie. 
  6. Rozłączne zewnętrznie okręgi o1 i o2 są styczne wewnętrznie do okręgu o odpowiednio w punktach A i B. Prosta k, nierozdzielająca okręgów o1 i o2, jest do nich styczna w punktach odpowiednio P i Q. Wykaż, że punkt przecięcia prostych AP i BQ należy do okręgu o
  7. Okręgi o1 i o2 są wpisane w kąt o wierzchołku P oraz w kąty wierzchołkowe o wierzchołku Q. Punkt R należy do okręgu o1, a proste PR i QR przecinają okrąg o2 w czterech punktach. Wykaż, że dwa spośród tych punktów są końcami jednej średnicy okręgu o2.

Rozwiązania 


Zadanie 1


Podzielmy banknot na cztery ćwiartki. Jednokładność o środku w każdym narożniku oraz skali 1 2 przekształca monety o promieniu 2 na monety o promieniu 1 tak, że pokrywają odpowiednią ćwiartkę. Zatem można przykryć cały banknot 100 monetami o promieniu 1.


Zadanie 2


jednokładność zadania


Zadanie 3


jednokładność na Olimpiadzie


Zadanie 4


Czy jednokładność występuje na Olimpiadzie?


Zadanie 5


Niech S będzie punktem przecięcia przekątnych AD, BE sześciokąta ABCDEF spełniającego za łożenie. Wtedy z równości [ABCD] + [FABE] = [DEFA] +[CDEB] wnioskujemy, że 2[ABS] + [BCDS] + [EFAS] = 2[DES] + [BCDS] + [EFAS], czyli [ABS] = [DES]. Zatem AE ∥ BD. Analogicznie wykazujemy AC ∥ DF oraz CE ∥ FB. Wobec tego trójkąty ACE i DFB są podobne przy właśnie takiej orientacji punktów.

Rozpatrzmy teraz jednokładność o środku w S przekształcającą A na D oraz E na B. Przekształca ona prostą AE na prostą BD oraz prostą AC na prostą równoległą do AC i przechodzącą przez D, czyli na DF. Analogicznie przekształca prostą EC na prostą BF. Zatem obraz punktu C w tej jednokładności jest przecięciem obrazów prostych CE i AC, czyli przecięciem prostych BF i DF, więc jest to punkt F. Wobec tego punkty F, S, C leżą na jednej prostej, co kończy dowód.



Zadanie 6


Czy jednokładność może wystąpić na Olimpiadzie?


Zadanie 7


Jednokładność - podobieństwo figur


Jednokładność: podsumowanie


To już koniec tego wpisu. Mam nadzieję, że temat jednokładności nie kryje już przed Wami tajemnic! Zachęcam Cię do zapisu na pełną wersję kursu Indeksu w Kieszeni, dzięki któremu poznasz więcej ciekawych zagadnień matematycznych!

Zapisz się do naszego newslettera, aby być na bieżąco z nowościami i wydaniami.

Subskrybując, zgadzasz się z naszą Polityką Prywatności i wyrażasz zgodę na otrzymywanie aktualizacji od naszej firmy.
Zapisz się do naszego newslettera, aby być na bieżąco z nowościami
i wydarzeniami.
Subskrybując, zgadzasz się z naszą Polityką Prywatności i wyrażasz zgodę na otrzymywanie aktualizacji od naszej firmy.
© 2025 Indeks w Kieszeni. Wszelkie prawa zastrzeżone.

Strona przygotowana przez Zyskowni.pl