Okręgi opisane na Olimpiadzie Matematycznej Juniorów

Omówimy w tym artykule kilka pojęć związanych z okręgami opisanymi na trójkątach i czworokątach, które należą do elementarnych narzędzi geometrycznych. Znajomość tych zagadnień jest konieczna na Olimpiadzie Matematycznej Juniorów. Co więcej, okażą się również przydatne w szkole średniej, czy to na maturze, czy na Olimpiadzie Matematycznej.

Okrąg opisany na wielokącie 

Okręgiem opisanym na wielokącie nazywamy okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki tegoż wielokąta. Najczęściej będą nas interesowały okręgi opisane na trójkątach i czworokątach. 

Ważnym zagadnieniem olimpijskim jest dowodzenie, że na wielokącie można opisać okrąg. Podstawowym kryterium pozwalającym to badać jest fakt, iż na wielokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne jego boków przecinają się w jednym punkcie. Co więcej, punkt ten jest jednocześnie środkiem tegoż okręgu.

Dowód: 

Jak dobrze wiemy, symetralna odcinka AB to zbiór punktów równoodległych od punktów A, B. Toteż jeśli symetralne wszystkich boków wielokąta A₁A₂…A_n przecinają się w punkcie O, to jest on równoodległy od wszystkich wierzchołków wielokąta. Wtedy okrąg o środku w O i promieniu |OA₁| = |OA₂| = … = |OA_n| przechodzi przez wszystkie wierzchołki naszego wielokąta. W drugą stronę, jeżeli wiadomo, że istnieje okrąg opisany na wielokącie, to jego środek jest równoodległy od wszystkich jego wierzchołków, a więc leży na symetralnej każdego boku.

Źródło: pl.freepik.com

Okręgi opisane na Olimpiadzie Matematycznej Juniorów: twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym 

Ważnymi pojęciami pozwalającymi przeliczać kąty w zadaniu geometrycznym są kąty środkowe i wpisane. Dany jest okrąg o środku O i punkty A, B, C na nim leżące. Kątem środkowym opartym na łuku AB nazywamy kąt AOB, natomiast kątem wpisanym opartym na łuku AB nazywamy kąt ACB₁ .W powyższej definicji przyjmujemy, że kolejność punktów definiujących kąt ma znaczenie, to jest kąt ACB to kąt idący od ramienia AC do ramienia BC przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Zatem kąty środkowe oparte na łukach AB i BA nie są tym samym kątem i razem tworzą kąt pełny.

Okazuje się, że miara kąta środkowego opartego na łuku AB jest dwukrotnością miary kąta wpisanego opartego na łuku AB. Pokażemy dowód tego faktu dla pierwszej konfiguracji z rysunku 1:

Obserwacja: wszystkie kąty wpisane oparte na łuku AB są równej miary, gdyż wszystkie są dwa razy mniejsze od kąta środkowego opartego na łuku AB.

Kryteria cykliczności czworokąta

Czworokąt nazywamy cyklicznym wtedy i tylko wtedy, gdy można na nim opisać okrąg. Pokażemy teraz dwa proste fakty równoważne temu, że czworokąt ABCD jest cykliczny:

Okręgi opisane na Olimpiadzie Matematycznej Juniorów: kąt dopisany

Ostatnim pojęciem, które przybliżymy w tym artykule, jest kąt dopisany do łuku AB. Niech punkty A, B, C leżą na okręgu ω, zaś D będzie punktem różnym od A, leżącym na stycznej do okręgu ω w punkcie A, przy czym C i D leżą po przeciwnych stronach prostej AB. Wtedy kąt DAB nazywamy dopisanym do łuku AB.

Okazuje się, że kąt dopisany do łuku AB ma taką samą miarę, jak kąt wpisany oparty na łuku AB.

Dowód: 

Niech O będzie środkiem okręgu ω. Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym mamy: 

2∠ACB = ∠AOB = 180^◦ − 2∠BAO = 180^◦ − 2(90^◦ − ∠DAB) = 2∠DAB

Co więcej, istnieje również fakt odwrotny:

Niech A, B, C leżą na okręgu ω, zaś D leży poza nim tak, że prosta AB rozdziela punkty D i C. Wówczas jeśli ∠ACB = ∠DAB, to AD jest styczną do okręgu ω.

Dowód: 

Wystarczy wybrać punkt D′ w konfiguracji jak w poprzednim fakcie. Wtedy ∠D′AB = ∠ACB = ∠DAB, więc skoro D i D′ leżą po tej samej stronie prostej AB, to D = D′.

Powyższe twierdzenie jest pożytecznym narzędziem do wykazywania styczności prostej do okręgu lub do przenoszenia równości kątów w zadaniu.

Źródło: pl.freepik.com

Okręgi opisane na Olimpiadzie Matematycznej Juniorów: podsumowanie

To już koniec tego wpisu. Mam nadzieję, że temat kątów w okręgu nie skrywa już przed Wami tajemnic! Zachęcam Cię do zapisania się na pełną wersję kursu Indeksu w Kieszeni, na którym poznasz więcej ciekawych zagadnień matematycznych!