Przydatne nierówności na Olimpiadzie Matematycznej

Nierówności na olimpiadzie matematyczne na przykładzie mężczyzny poszukującego rozwiązania

Źródło: www.freepik.com

Jakie nierówności trzeba znać na Olimpiadzie Matematycznej? Pytanie to zadaje sobie większość uczniów przygotowujących się do Olimpiady Matematycznej. Nie ma czemu się dziwić – nierówności często pojawiają się na OM i nie zawsze jest jasne, czy można je rozwiązać z zastosowaniem łatwych i elementarnych metod. Zazwyczaj pomocne jest odwołanie się do znanych nierówności. Jednak liczność tych ostatnich może przestraszyć. Stawia to nas przed pytaniem: które z nich naprawdę warto znać?

       

Nierówności między średnimi

        

Najbardziej podstawowymi nierównościami, które powinien znać każdy olimpijczyk, są nierówności między średnimi:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 1

Warto jest je zanotować w pamięci, ponieważ często przydają się w jakiejś postaci. Zazwyczaj jednak nierówności z konkretnego zadania wymagają pewnego „obrobienia” i rzadko widuje się przykłady, w których wystarczy tylko jedno podstawienie. W związku z tym warto mieć w zanadrzu coś jeszcze.

             

Nierówność Cauchy’ego-Schwarza

        

Kolejna bardzo ważna nierówność nosi nazwę nierówność Cauchy’ego-Schwarza. Posiada bardzo ładną interpretację w terminach iloczynu skalarnego, a jej sformułowanie to:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 2

Prosty przykład wniosku z tej nierówności stanowi następująca nierówność:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 3

Wynika ona z poprzedniej, gdy postawimy:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 4

Użytecznym sformułowaniem może też okazać się nierówność Cauchy’ego-Schwarza w formie Engela:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 5

Udowodnić ją możemy podstawiając do zwykłego sformułowania następujące wartości:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 6

Dostaniemy wówczas:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 7

Czyli:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 8

W nierównościach występujących na Olimpiadzie, w wyrazach, które sumujemy, częstokroć licznik i mianownik są w różnych potęgach – w takiej sytuacji omawiana nierówność ma bardzo cenne zastosowanie. Na przykład podczas olimpiady.

       

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej – LXIX OM, I etap

        

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 9

Możemy dwukrotnie posłużyć się przytoczoną nierównością Cauchy’ego-Schwarza w formie Engela podstawiając:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 10

Otrzymamy wówczas, że lewa strona jest większa niż:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 11

Do powyższego wyrażenia wystarczy zastosować nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch wyrazów, by uzyskać tezę zadania.

         

Ogólniejsze nierówności

            

Oczywiście warto znać więcej nierówności niż wspomniane jak dotąd jednak już biorąc je za punkt wyjścia możemy uzyskać wiele ciekawych wyników. Możliwe jest choćby przedstawienie ich w postaci ogólnej. Przykładem tego będą następujące nierówności:

Nierówność Radona będąca uogólnieniem nierówności Cauchy’ego-Schwarza w formie Engela:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 12

Nierówność Holdera jest z kolei uogólnieniem nierówności Cauchy’ego-Schwarza:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 13

Zachodzi ona przy p, q dodatnich takich, że:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 14

 

Nierówność Jensena

Zawsze warto postawić sobie pytanie: „dlaczego jakaś nierówność jest prawdziwa?” Następnie zaś spróbować skonfrontować to z własną intuicją. Co ważne, okazuje się, że opisane wcześniej nierówności można udowodnić stosując nierówność Jensena. Jej sformułowanie jest następujące:

Niech f będzie funkcją wypukłą mającą w swojej dziedzinie liczby x. Wówczas dla:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 15

Takich, że:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 16

Zachodzi:

Nierówności na Olimpiadzie Matematycznej - obraz 17

Dla funkcji wklęsłych nierówność zachodzi w przeciwną stronę. Sam dowód nierówności wynika z definicji funkcji wypukłej (bądź, w drugim przypadku, wklęsłej).

Oczywiście nie zawsze mamy pewność, jak zdefiniować samą funkcję wypukłą albo jak dobrać wagi t, ale jeśli to się uda, to wówczas połączenie nierówności Jensena i jednorodności dowodzonej nierówności daje znakomite efekty pozwalające rozwiązać wiele nieoczywistych zadań.

O nierównościach można by opowiadać długo, ale przytoczone przykłady są wystarczające, aby poradzić sobie z większością zadań tego typu na Olimpiadzie lub, przy pomocy nierówności Jensena, wyprowadzić na własne potrzeby inną poszukiwaną nierówność. Zachęcam do samodzielnego rozwiązania możliwie sporej ilości zadań, podejmowania prób stosowania różnych technik oraz odwoływania się do różnych nierówności. Więcej o znanych nierówności można znaleźć w dokumencie  Ku chwale nierówności, do którego odsyłam zainteresowanych czytelników.

Autor tekstu: Bartek Sikorski

Indeks w Kieszeni
kontakt@indekswkieszeni.pl