Schemat Bernoulliego – świat statystyki i prawdopodobieństwa na maturze!

Jednym z najmniej lubianych działów maturalnych jest statystyka i rachunek prawdopodobieństwa. Ten specyficzny rozdział matematyki, który nie ma z innymi działami obecnymi w podstawie programowej zbyt dużo wspólnego, stanowi jednak wstęp do niesamowitej dziedziny. 

Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa znajduje szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach nauki, wspierając analizę niepewności i zjawisk losowych:

• medycyna – przewidywanie rozprzestrzeniania się chorób zakaźnych, wyliczanie ryzyka zachorowania na daną chorobę;
• genetyka – przewidywanie dziedziczenia genów;
• ekonomia i finanse – szacowanie ryzyk w inwestycjach;
• inżyniera – analiza niezawodności maszyn;
• psychologia – analiza i szacowanie wyborów konsumenckich.

Jak widzisz, praktycznie każdy może potrzebować rachunku prawdopodobieństwa.

Źródło: pl.freepik.com

Podstawa programowa na maturę z matematyki

Na maturze rozszerzonej z matematyki od kilku lat w podstawie programowej występuje Schemat Bernoulliego, znany także jako rozkład dwumianowy, który jest jednym z kluczowych pojęć teorii prawdopodobieństwa. Pozwala on na obliczenie prawdopodobieństwa uzyskania dokładnie k sukcesów w serii n niezależnych prób, spośród których każda próba ma tylko dwa możliwe wyniki – sukces lub porażkę.

Twórcą tego schematu jest szwajcarski matematyk Jakob Bernoulli, żyjący na przełomie XVII i XVIII wieku. Bernoulli był jednym z pierwszych naukowców, którzy rozwinęli podstawy teorii prawdopodobieństwa. W swojej pracy Ars Conjectandi (Sztuka domniemywań), opublikowanej pośmiertnie w 1713 roku, opisał podstawy teoretyczne, które dzisiaj są fundamentem rozkładu dwumianowego. Bernoulli zajmował się głównie analizą losowych zjawisk, takich jak rzuty monetą, a jego odkrycia miały ogromny wpływ na rozwój matematyki i statystyki.

Czym jest Schemat Bernoulliego?

Schemat Bernoulliego dotyczy serii n niezależnych prób, gdzie każda próba ma stałe prawdopodobieństwo sukcesu p i porażki 1−p. Aby obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w tych n próbach, wykorzystuje się następujący wzór:

Gdzie:

Bardzo ważne: każde zdarzenie jest niezależne od siebie i w każdym mamy taką samą szansę na sukces!

Źródło: pl.freepik.com

Przykłady praktyczne

1. Rzuty monetą: wyobraźmy sobie, że rzucamy monetą 10 razy i chcemy obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania 6 orłów. Ponieważ prawdopodobieństwo sukcesu (orzeł) wynosi p = 0,5, możemy skorzystać ze wzoru Bernoulliego. Umożliwia to precyzyjne oszacowanie prawdopodobieństwa uzyskania określonej liczby sukcesów.
2. Testowanie jakości produktu: Producent sprawdza, czy produkt spełnia normy jakościowe, a prawdopodobieństwo, że produkt spełni normy, wynosi 0,95. Jeśli producent testuje 20 produktów, może obliczyć prawdopodobieństwo, że dokładnie 18 z nich spełni wymagania, wykorzystując schemat Bernoulliego.

Schemat Bernoulliego jest istotnym elementem podstawy programowej z matematyki na poziomie rozszerzonym, dlatego uczniowie przygotowujący się do matury muszą go dobrze opanować. Zagadnienie to w ostatnich latach dosyć często pojawia się w zadaniach dotyczących prawdopodobieństwa!

Schemat Bernoulliego: podsumowanie

Schemat Bernoulliego jest kluczowym narzędziem w teorii prawdopodobieństwa. Znajduje szerokie zastosowanie zarówno w codziennym życiu, jak i w zaawansowanych dziedzinach, takich jak statystyka, analiza jakości czy badania rynkowe. Pozwala on na precyzyjne obliczenie prawdopodobieństwa uzyskania określonej liczby sukcesów w serii niezależnych prób, co czyni go nieocenionym narzędziem matematycznym.

Oprócz schematu Bernoulliego, w teorii prawdopodobieństwa istnieje wiele innych rozkładów, które opisują różne typy zjawisk losowych. Należy do nich: rozkład wykładniczy, rozkład Poissona, rozkład Gaussa… Jednak o nich dowiesz się więcej dopiero na dalszych etapach edukacji!

W Indeksie w Kieszeni wszystkie zagadnienia tłumaczymy w zrozumiały i przystępny dla ucznia sposób. Szukasz skutecznego przygotowania do matury z matematyki? Jeżeli tak, to zachęcamy do zapoznania się z naszą ofertą kursów!