Wprowadzenie: Liczba pi a matura z matematyki

Istnieje jedna liczba, którą znają absolutnie wszyscy – ma ona nawet swoje święto obchodzone przez wielbicieli nauki na całym świecie. Mowa oczywiście o pi, której dzień przypada rokrocznie 14 marca. Czy wiecie jakie sekrety skrywa liczba bliska nie tylko przedstawicielom nauk ścisłych, lecz również humanistom? 

Wiedza, której za chwilę się dowiesz z pewnością przyda Ci się na maturze z matematyki – niezależnie czy podchodzisz do niej na poziomie podstawowym, czy rozszerzonym! Po przeczytaniu wpisu zachęcamy również do wzięcia udziału w kursie, dzięki któremu osiągniesz wynik potrzebny do dostania się na Twoje wymarzone uczelnie. Sprawdź na czym polega innowacyjna metoda nauki Indeksu w Kieszeni!

Datę święta wybrano z powodu skojarzenia amerykańskiej notacji zapisywania dat (miesiąc, dzień, rok) z pierwszymi liczbami rozszerzenia dziesiętnego π (3.14, czyli właśnie 14 marca). Jeśli przegapicie ten dzień, to zawsze możecie nadrobić zaległości 22 lipca. Wtedy właśnie europejscy wielbiciele matematyki, w odpowiedzi na amerykański pierwowzór, ustanowili Dzień Aproksymacji Pi (22/7 ≈ 3.14). Na marginesie, aproksymacja to określenie przybliżonego rozwiązania na podstawie znanych, określonych rozwiązań (w tym przypadku liczb 22 i 7).

Czym jest π, czyli co kryje się w piramidzie Cheopsa? Matura z matematyki a starożytne cuda świata

Najbardziej znaną w skali świata stałą matematyczną najprościej opisać korzystając ze wzoru, który dzieci poznają już w podstawówce (pamiętacie, obwód koła = 2πr). Definicja jest następująca: w geometrii euklidesowej (klasycznej) π jest równe stosunkowi długości obwodu okręgu do długości jego średnicy. Tę zależność zauważono już w Babilonii ponad 4000 lat temu, ale niektórzy badacze sądzą, że była ona znana i stosowana już w starożytnym Egipcie, ponad 1000 lat wcześniej. Okazuje się, że stosunek obwodu piramidy Cheopsa do jej wysokości wynosi 921 m/147 m ≈ 6,28 = 2π. Część egiptologów uważa, że nie może to być dziełem przypadku.

π można też określić jako pole koła o promieniu równym 1 (kolejny wzór do przypomnienia: pole koła = πr²). Wspinając się o parę stopni zaawansowania wyżej, do zdefiniowania tej liczby użyjemy funkcji trygonometrycznych: π to najmniejsza dodatnia liczba x, dla której sin(x) = 0. Mnogość możliwych charakterystyk jest zasługą szerokiego zastosowania π w różnych wzorach, od geometrii analitycznej i probabilistyki (rachunek prawdopodobieństwa) po fizykę kwantową i elektrostatykę.

Co się kryje w π, czyli jak policzyć niepoliczalne?

Każdy uczeń wie, a przynajmniej powinien wiedzieć, że π ≈ 3,14. Ktoś bardziej dociekliwy przypomni sobie dwa kolejne rozwinięcia dziesiętne i uzyska π ≈ 3,1415. Nadal nie jest to dokładne określenie jej wartości. Ta sztuka nigdy się nie uda z prostej przyczyny: π jest liczbą niewymierną, co udowodnił w 1761 roku Johann Heinrich Lambert. To, że π jest niewymierna, oznacza mniej więcej tyle, że… nie jest wymierna, czyli nie da się jej zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb p i q, gdzie p i q są całkowite i q jest różne od zera. Mówiąc prościej: rozwinięcie dziesiętne liczby π jest nieskończone i nieokresowe. Mówiąc jeszcze prościej: kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby π są „ustawione” w kompletnie nieuporządkowany sposób. Oto liczba π z dokładnością do 50 miejsc po przecinku: π = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510… Jak można łatwo zauważyć, wszystkie próby znalezienia logicznego ciągu kolejnych cyfr są z góry skazane na porażkę.

Nie pomogły nawet komputery

Obecnie znamy liczbę π z dokładnością do… 22,5 bilionów miejsc po przecinku. Obliczenia wykonywane przez superkomputer trwały 105 dni, a zapis liczby zajmuje ok. 120 terabajtów przestrzeni dyskowej. To rozwinięcie jest w praktyce tak nieskończenie długim łańcuchem cyfr, że można w nim znaleźć każdą liczbę naturalną, jaka tylko przyjdzie do głowy. Dla przykładu: liczba 666 znajduje się już na 2440. miejscu po przecinku, 12345678 na 186557266. miejscu, a 04092020 (data powstania tego tekstu) na 79629004. miejscu. Szansa na odnalezienie wśród pierwszych 200 milionów cyfr dowolnej liczby od 0 do 9999999 wynosi 100%. Przy liczbie ośmiocyfrowej to prawdopodobieństwo spada do 60%, a odnalezienie liczby składającej się z aż dziewięciu cyfr wymaga już sporo szczęścia (ok. 9% szans).

Niewymierność π nie jest jedynym problemem, który spędza sen z oczu matematykom. W 1882 roku Ferdinand Lindemann udowodnił, że jest ona również liczbą przestępną (na marginesie: liczby, które nie są przestępne, to liczby algebraiczne). Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach wymiernych i niezerowych W(x) taki, że  W(π) = 0 (czyli przyjmuje dla liczby  wartość równą zero). Na marginesie:  zerowym jest wielomian, który dla dowolnej liczby rzeczywistej x przyjmuje wartość równą zero; z definicji wielomian niezerowy to… taki wielomian, który nie jest wielomianem zerowym. Liczb przestępnych znamy mało. Należy do nich m.in. liczba Eulera (e ≈ 2,71), kolejna, obok liczby π, bardzo ważna stała matematyczna.

Historia π, czyli jak można poświęcić liczeniu całe życie?

Najwcześniejsze teksty świadczące o świadomych śladach użycia π pochodzą z ok. 1900 r. przed Chrystusem. W egipskim Papirusie Matematycznym Rhinda, który zawiera 87 zadań z komentarzem (jest to najprawdopodobniej najstarszy zbiór zadań na świecie) figuruje pod postacią 256/81 ≈ 3,16, a w babilońskich tabliczkach datowanych na ten sam okres jako 25/8 ≈ 3,125. W starożytności badano ją też po drugiej stronie globu: w Indiach i Chinach. Zu Chongzhi, nadworny astrolog chińskiego cesarza, określił π jako 355/113 ≈ 3,14159 –  było to najdokładniejsze przybliżenie aż do XV wieku.

Nasza bohaterka pojawia się również w Starym Testamencie, w Drugiej Księdze Kronik w opisie ceremonialnego basenu króla Salomona: Następnie sporządził odlew okrągłego „morza” o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci. Jak widać twórca tego „morza” przyjął π = 3.

Dopiero Archimedes był pierwszym matematykiem, który zajął się liczbą π na poważnie i badał jej dokładną wartość. Udało mu się ją oszacować z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku korzystając z różnych zależności geometrycznych. Grecki matematyk wyznaczył długości boków dwóch 96-kątów foremnych, czyli takich figur, które mają boki o równej długości: opisanego na okręgu i wpisanego w ten sam okrąg, a następnie obliczył średnią arytmetyczną obwodów tych wielokątów. W ten sposób otrzymał przybliżoną wartość obwodu podanego okręgu. Archimedes obliczył, że π należy do przedziału (3 ; 3 ). Przeprowadzone obliczenia były jednak bardzo żmudne i czasochłonne. Mimo wielkich wysiłków Archimedesowi nie udało się dokonać analogicznych obliczeń dla 192-kątów, co pozwoliłoby mu wyznaczyć π z jeszcze większą dokładnością. W późniejszych stuleciach uważano jego metodę za najlepszą i często ją wykorzystywano.

Pomoc nadeszła z Indii

W 1400 roku hinduski matematyk Madhava wymyślił nowy sposób: jako pierwszy w historii do obliczenia wartości π użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego Gottfried Wilhelm Leibniz i James Gregory doszli niezależnie od siebie ponad 300 lat później. Wzór Madhavy-Leibniza lub Leibniza-Gregory’ego wygląda następująco (inne wzory zamieszczono w dodatku na końcu artykułu):

Takie postępowanie przyjęło się i od tego czasu zaczęto używać ciągów nieskończonych. Mimo tej innowacji w 1596 roku Ludolph van Ceulen podał przybliżenie π z dokładnością do 35. miejsca po przecinku używając metody Archimedesa. Skorzystał z wieloboku o… 2⁶² bokach! Nic dziwnego, że swoje obliczenia prowadził przez całe życie, a liczbę π zaczęto czasami nazywać od jego imienia ludolfiną. Określona przez niego wartość została nawet wyryta na jego płycie nagrobkowej.

Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia sięgające kilkuset miejsc po przecinku. W 1853 William Rutherford doszedł do 440. miejsca, a rekordzistą w ręcznych obliczeniach jest William Shanks, któremu w 1874 udało się ustalić 707. miejsce. Zajęło mu to ponad 15 lat (niestety okazało się, że popełnił błąd w obliczeniach i 180 ostatnich cyfr jest nieprawidłowych). W XX wieku zaczęto używać komputerów i obecnie stosuje się wyłącznie takie metody.

Słynne problemy starożytności, czyli co trapiło Archimedesa? Matura z matematyki a filozofia

Starożytni Grecy sformułowali zasady konstrukcji figur przy pomocy jedynie linijki i cyrkla. Te narzędzia są w założeniu wyidealizowane: cyrkiel może być rozwarty na dowolną szerokość, a linijka ma potencjalnie nieskończoną długość. Takie rodzaje konstrukcji noszą miano klasycznych. Jak można się domyślić, ta metoda nie jest doskonała. Grecy sformułowali tzw. trzy słynne problemy matematyki greckiej, których nie dało się rozwiązać za pomocą konstrukcji klasycznej: trysekcja kąta (podział danego kąta na trzy równe części), podwojenie sześcianu (wyznaczenie boku sześcianu o objętości dwa razy większej niż dany sześcian) i kwadratura koła (konstrukcja kwadratu o polu równym polu danego koła).

Co ma do tego π?

Otóż jej przestępność ostatecznie rozstrzyga ostatni problem. Współrzędne wszystkich punktów, które można skonstruować za pomocą konstrukcji klasycznej są liczbami algebraicznymi, czyli (jak pokazano wcześniej) takimi, które nie są przestępne. A π do nich nie należy.

To pokazuje, że kwadratura koła jest niewykonalna. Udowodnił to dopiero Pierre Wantzel w 1837 roku. Mimo tego istnieje sposób na wyznaczenie odcinka o długości zbliżonej do wartości liczby π. Dokonał tego w 1685 roku nadworny matematyk króla Jana III Sobieskiego, Adam Admandy Kochański. Wymyślona przez niego konstrukcja została nazwana jego imieniem.

Pifilologia, czyli jak liczba została bohaterką wierszy? Matura z matematyki a poezja

Liczba π jest inspiracją dla wielu artystów i reżyserów. Darren Aronofsky poruszył jej temat w swoim filmie Pi, natomiast bohater powieści Yanna Martela Życie Pi nosi jej imię. O liczbie π powstał też znany wiersz Wisławy Szymborskiej, zatytułowany po prostu Liczba Pi.

Może ciężko w to uwierzyć zwykłym zjadaczom chleba, ale π ma swoich licznych i zagorzałych wielbicieli. Powstało nawet pojęcie pifilologia (z ang. piphilology), które oznacza tworzenie i posługiwanie się technikami pozwalającymi na zapamiętanie jak najdłuższego ciągu cyfr rozwinięcia dziesiętnego π. Rekord ustanowił Akira Haraguchi, który zapamiętał równo 100 tysięcy cyfr w poprawnej kolejności!

Do pomocy w zapamiętywaniu można używać specjalnych wierszy i opowiadań, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym. Ten styl pisania nosi nazwę pilish, a te krótkie utwory są znane w języku angielskim jako piems (połączenie słów pi i poems). Najsłynniejszy utwór został stworzony przez sir Jamesa Jeansa. Brzmi on następująco: How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics! (w tłumaczeniu: Jakże chciałbym się napić, czegoś mocniejszego oczywiście, po trudnych wykładach dotyczących mechaniki kwantowej!). Istnieje też kilka przykładów w języku polskim. Oto jeden z nich:

Jaś o kole z werwą dyskutuje

bo dobrze temat ten czuje

zastąpił ludolfinę słowami wierszyka

czy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika?

Oto i wiem i pomnę doskonale…

Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła.

Liczba pi – podsumowanie. Nie tylko matura z matematyki, ale każdy wymiar życia!

Jak mogłeś zauważyć, Drogi Czytelniku, π nie jest kolejnym wymysłem wrednych matematyków, który ma utrudnić Ci życie i psuć obliczenia. Ta liczba odgrywa olbrzymią rolę w wielu dziedzinach nauki. Mimo, że jest skrupulatnie badana od ponad 4000 lat, nadal skrywa wiele tajemnic. Odpowiedzi na niektóre z nich najprawdopodobniej nigdy nie ujrzą światła dziennego. Może ktoś po przeczytaniu tego tekstu postanowi poświęcić jej swoje życie i zbada ją dogłębnie? Kto wie…

DODATEK. Kilka ciągów nieskończonych zawierających π i ich twórcy:

Dzięki za lekturę tego wpisu! Jestem pewien, że po jego przeczytaniu, liczba pi nie kryje już przed Wami tajemnic 🙂 Zapraszam do wzięcia udziału w prowadzonym przeze mnie kursie przygotowującym do matury z matematyki. Wspólnie przerobimy całą teorię i odpowiednią liczbę zadań tak, by arkusz nie stanowił dla Ciebie problemu!

Autor tekstu: Damian Artyszak

Sprawdź nasze przygotowania do matury w Twojej okolicy!